什么是动态规划？

动态规划（Dynamic programming，简称 DP），是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

动态规划核心思想

• A ： "1+1+1+1+1+1+1+1 =？"

• A ： "上面等式的值是多少"

• B ： 计算 "8"

• A : 在上面等式的左边写上 "1+" 呢？

• A : "此时等式的值为多少"

• B : 很快得出答案 "9"

• A : "你怎么这么快就知道答案了"

• A : "只要在8的基础上加1就行了"

• A : "所以你不用重新计算，因为你记住了第一个等式的值为8!动态规划算法也可以说是 '记住求过的解来节省时间"

一个例子走进动态规划 -- 青蛙跳阶问题

• 要想跳到第10级台阶，要么是先跳到第9级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第8级，然后一次迈2级台阶上去。

• 同理，要想跳到第9级台阶，要么是先跳到第8级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第7级，然后一次迈2级台阶上去。

• 要想跳到第8级台阶，要么是先跳到第7级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第6级，然后一次迈2级台阶上去。

• ……总结即为：

• 当只有2级台阶时，有两种跳法，第一种是直接跳两级，第二种是先跳一级，然后再跳一级。即f(2) = 2;

• 当只有1级台阶时，只有一种跳法，即f（1）= 1；

暴力递归

带备忘录的递归解法（自顶向下）

自底向上的动态规划

• 带备忘录的递归，是从f(10)往f(1）方向延伸求解的，所以也称为自顶向下的解法。

• 动态规划从较小问题的解，由交叠性质，逐步决策出较大问题的解，它是从f(1)往f(10）方向，往上推求解，所以称为自底向上的解法。

• f(n-1)和f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构

• f(n)= f（n-1）+f（n-2）就称为状态转移方程

• f(1) = 1, f(2) = 2 就是边界

• 比如f(10)= f(9)+f(8),f(9) = f(8) + f(7) ,f(8)就是重叠子问题。

动态规划的一般解题思路

动态规划的解题思路

• 穷举分析

• 确定边界

• 找出规律，确定最优子结构

• 写出状态转移方程

1. 穷举分析

• 当台阶数是1的时候，有一种跳法，f（1） =1

• 当只有2级台阶时，有两种跳法，第一种是直接跳两级，第二种是先跳一级，然后再跳一级。即f(2) = 2;

• 当台阶是3级时，想跳到第3级台阶，要么是先跳到第2级，然后再跳1级台阶上去，要么是先跳到第 1级，然后一次迈 2 级台阶上去。所以f(3) = f(2) + f(1) =3……

2. 确定边界

3. 找规律，确定最优子结构

一道动态规划问题，其实就是一个递推问题。假设当前决策结果是f(n),则最优子结构就是要让 f(n-k) 最优,最优子结构性质就是能让转移到n的状态是最优的,并且与后面的决策没有关系,即让后面的决策安心地使用前面的局部最优解的一种性质

4. 写出状态转移方程

leetcode案例分析

• 1 <= n <= 45

方法一：动态规划

方法二：矩阵快速幂

• 时间复杂度：同快速幂，O(log⁡n)。

• 空间复杂度：O(1)。

方法三：通项公式

方式四：狼人大哥法